设等比数列 \( \left\{{a}_{n}\right\}\) 的公比为 \( q\) ，
因为 \({a_1} = 2\) ， \( \frac{3}{2}{a}_{3}\) 是 \( 2{a}_{2}\) 与 \( {a}_{4}\) 的等差中项，
所以 \( 3{a}_{3}=2{a}_{2}+{a}_{4}\) ，即 \( 3{a}_{1}{q}^{2}=2{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{3}\) ，
解得 \( q=2\) ， \( q=1\) ，
因为 \( \left\{{a}_{n}\right\}\) 不是常数列，所以 \( q=2\) ，
所以得到 \( {a}_{n}={2}^{n}\) ， \( {S}_{2n}=\frac{{a}_{1}\left(1-{q}^{2n}\right)}{1-q}=\frac{2\left(1-{2}^{2n}\right)}{1-2}=2\left({2}^{2n}-1\right)\) ，
所以 \( \frac{{S}_{2n}+34}{{a}_{n}}=\frac{2\left({2}^{2n}-1\right)+34}{{2}^{n}}=2\cdot {2}^{n}+\frac{32}{{2}^{n}}\) \( \ge 2\sqrt{2\cdot {2}^{n}\times \frac{32}{{2}^{n}}}=16\) ，
当且仅当 \( 2\cdot {2}^{n}=\frac{32}{{2}^{n}}\) ，即 \( n=2\) 时，等号成立，
所以 \( \frac{{S}_{2n}+34}{{a}_{n}}\) 取得最小值时， \( {n}_{0}=2\) .
