高中数学选择性必修 第二册（381题）
已知等比数列 \( \left\{{a}_{n}\right\}\) ， \( {a}_{1}=1\) ， \( {a}_{4}=\frac{1}{8}\) ，则 \( {a}_{1}{a}_{2}+{a}_{2}{a}_{3}+{a}_{3}{a}_{4}+\cdots +{a}_{n}{a}_{n+1}=\) （ ）
A.\( 1-\frac{1}{{4}^{n}}\)
B.\( \frac{2}{3}\left(1-\frac{1}{{4}^{n+1}}\right)\)
C.\( \frac{2}{3}\left(1-\frac{1}{{4}^{n-1}}\right)\)
D.\(\frac{2}{3}\left( {1 - \frac{1}{{{4^n}}}} \right)\)
知识点：第四章 数列
参考答案：D
解析：
设等比数列 \( \left\{{a}_{n}\right\}\) 的公比为 \( q\) ，则 \( {a}_{4}={a}_{1}{q}^{3}={q}^{3}=\frac{1}{8}\) ， \( \therefore q=\frac{1}{2}\) ， \( \therefore {a}_{2}={a}_{1}q=\frac{1}{2}\) ，
\( \therefore \frac{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}=\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}={q}^{2}=\frac{1}{4}\) ，且 \( {a}_{1}{a}_{2}=\frac{1}{2}\) ，
所以，数列 \( \left\{{a}_{n}{a}_{n+1}\right\}\) 是以 \( \frac{1}{2}\) 为首项，以 \( \frac{1}{4}\) 为公比的等比数列，
因此， \( {a}_{1}{a}_{2}+{a}_{2}{a}_{3}+{a}_{3}{a}_{4}+\cdots +{a}_{n}{a}_{n+1}=\frac{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{{4}^{n}}\right)}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}\left(1-\frac{1}{{4}^{n}}\right)\) .
