等比数列 \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) 中首项 \({a_1} = 2\) ，公比\(q = 3,{a_n} + {a_{n{\rm{ + }}1}}{\rm{ + }} \cdot \cdot \cdot {\rm{ + }}{a_m} = 720\left( {n,m \in {N^*},n < m} \right)\) ，则 \(n + m = \)___.
因为等比数列 \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) 中首项 \({a_1} = 2\) ，公比 \(q = 3\) ，
所以 \({a_n},{a_{n + 1}}, \cdot \cdot \cdot ,{a_m}\) 成首项为 \({a_n} = 2 \times {3^{n - 1}}\) ，公比为 \(3\) 的等比数列，共 \(n - m + 1\) 项，
所以 \({a_n} + {a_{n{\rm{ + }}1}}{\rm{ + }} \cdot \cdot \cdot {\rm{ + }}{a_m} = \frac{{2 \times {3^{n - 1}}\left( {1 - {3^{m - n + 1}}} \right)}}{{1 - 3}} = 270\)
整理得 \({3^{n - m + 1}} - 1 = \frac{{720}}{{{3^{n - 1}}}}\)
因为 \(n,m \in {N^*},n < m\)
所以可得，等式右边为整数，故等式左边也需要为整数，
则 \({3^{n - 1}}\) 应是 \(720\) 的约数，
所以可得 \({3^{n - 1}} = 1,3,9.\)
所以 \(n = 1,2,3\) ，
当 \(n = 1\) 时，得 \({3^m} = 721\) ，此时 \(m \notin {N^*}\) ；
当 \(n = 2\) 时，得 \({3^{m - 1}} = 241\) ，此时 \(m \notin {N^*}\) ；
当 \(n = 3\) 时，得 \({3^{m - 2}} = 81\) ，此时 \(m = 6\) ，
所以 \(m + n = 9\) .
