高中数学选择性必修 第二册（381题）

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知识点：第四章 数列

参考答案：设 \( \left\{{b}_{n}\right\}\) 的公差为 \( d\) （ \( d>0\) ），
由 \( {T}_{3}=15\) 得 \( {b}_{1}+{b}_{2}+{b}_{3}=15\) ，
可得 \( {b}_{2}=5\) ．故设 \( {b}_{1}=5-d\) ， \( {b}_{3}=5+d\) ；
又由（1）可知 \( {a}_{1}=1\) ， \( {a}_{2}=3\) ， \({a_3} = 9\) ，
则由 \( {a}_{1}+{b}_{1}\) ， \( {a}_{2}+{b}_{2}\) ， \( {a}_{3}+{b}_{3}\) 成等比数列，
得 \( \left(5-d+1\right)\left(5+d+9\right)={\left(5+3\right)}^{2}\) ，
解得 \( d=2\) 或 \( d=-10\) （舍），则 \({b_1} = 3\) ，
所以 \( {T}_{n}=3n+\frac{n\left(n-1\right)}{2}\times 2={n}^{2}+2n\) ．