已知正项等比数列 \( \left\{{a}_{n}\right\}\) 满足 \( {a}_{3}={a}_{2}+2{a}_{1}\) ，若存在 \( {a}_{m}\) 、 \( {a}_{n}\) ，使得 \({a_m} \cdot {a_n} = 16a_1^2\) ，则 \( \frac{1}{m}+\frac{4}{n}\) 的最小值为（       ）

设等比数列 \( \left\{{a}_{n}\right\}\) 的公比为 \( q\) ，则 \( q>0\) ，由 \( {a}_{3}={a}_{2}+2{a}_{1}\) 可得 \({q^2} - q - 2 = 0\) ，解得 \( q=2\) ，

因为 \({a_m} \cdot {a_n} = 16a_1^2\) ，则 \( {a}_{1}^{2}\cdot {2}^{m-1}\cdot {2}^{n-1}=16{a}_{1}^{2}\) ， \( \therefore m+n-2=4\) ，可得 \( m+n=6\) ，

由已知 \( m\)、 \( n\in {N}^{*}\) ，所以， \( \frac{1}{m}+\frac{4}{n}=\frac{1}{6}\left(m+n\right)\left(\frac{1}{m}+\frac{4}{n}\right)=\frac{1}{6}\left(5+\frac{4m}{n}+\frac{n}{m}\right)\)  

\( \ge \frac{1}{6}\left(5+2\sqrt{\frac{4m}{n}\cdot \frac{n}{m}}\right)=\frac{3}{2}\) ，

当且仅当 \( n=2m=4\) 时，等号成立，

因此， \( \frac{1}{m}+\frac{4}{n}\) 的最小值为 \( \frac{3}{2}\) .

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