高中数学选择性必修 第二册（381题）
若 \( \left\{{a}_{n}\right\}\) 为等比数列，则下列数列中是等比数列的是（ ）
A.\( \left\{{a}_{n}^{3}\right\}\)
B.\( \left\{k\cdot {a}_{n}\right\}\)， \( k\in R\)
C.\( \left\{\frac{1}{{a}_{n}}\right\}\)
D.\( \left\{\mathrm{ln}{a}_{n} \right\}\)
知识点：第四章 数列
参考答案：AC
解析：
因数列 \( \left\{{a}_{n}\right\}\) 是等比数列，则 \( {a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}\) ， \( q\) 为非 0 常数，
对于A， \( \frac{{a}_{n+1}^{3}}{{a}_{n}^{3}}=(\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}{)}^{3}={q}^{3}\) ， 显然 \( {q}^{3}\) 是非 0 常数，即 \( \left\{{a}_{n}^{3}\right\}\) 是首项为 \( {a}_{1}^{3}\) ，公比为 \( {q}^{3}\) 的等比数列，A正确；
对于B，因 \( k\in R\) ，则当 \( k=0\) 时， \( k\cdot {a}_{n}=0\) ， \( \left\{k\cdot {a}_{n}\right\}\) 不是等比数列，B不正确；
对于C， \( \frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{{a}_{1}}\cdot (\frac{1}{q}{)}^{n-1}\) ， \( \frac{\frac{1}{{a}_{n+1}}}{\frac{1}{{a}_{n}}}=\frac{1}{q}\) ，即数列 \( \left\{\frac{1}{{a}_{n}}\right\}\) 是首项为 \( \frac{1}{{a}_{1}}\) ，公比为 \( \frac{1}{q}\) 的等比数列，C正确；
对于D，若数列 \( \left\{{a}_{n}\right\}\) 中有负数项，则 \( \mathit{ln}{a}_{n}\) 无意义，若 \( \forall n\in {N}^{*}\) ， \( {a}_{n}>0\) ，则\( \mathrm{ln}{a}_{n}=\mathrm{ln}{a}_{1}+(n-1)\mathrm{ln}q\) ， \( \left\{\mathrm{ln}{a}_{n}\right\}\) 不是等比数列，D不正确.
