高中数学选择性必修 第二册（381题）
记数列\( \left\{{a}_{n}\right\}\)是等差数列，下列结论中不恒成立的是（ ）
A.若\( {a}_{1}+{a}_{2}>0\)，则\( {a}_{2}+{a}_{3}>0\)
B.若\( {a}_{1}+{a}_{3}<0\)，则\( {a}_{2}<0\)
C.若\( {a}_{1}<{a}_{2}\)，则\( {a}_{2}>\sqrt{{a}_{1}{a}_{3}}\)
D.若\( {a}_{1}<0\)，则\( \left({a}_{2}-{a}_{1}\right)\left({a}_{2}-{a}_{3}\right)>0\)
知识点：第四章 数列
参考答案：ACD
解析：
设等差数列\( \left\{{a}_{n}\right\}\)的首项为\( {a}_{1}\)，公差为\( d\)，则
对于A，由数列\( \left\{{a}_{n}\right\}\)是等差数列及\( {a}_{1}+{a}_{2}>0\)，所以可取\( {a}_{1}=1，{a}_{2}=0，{a}_{3}=-1\)，所以\( {a}_{2}+{a}_{3}>0\)不成立，故A正确；
对于B，由数列\( \left\{{a}_{n}\right\}\)是等差数列，所以\( 2{a}_{2}={a}_{1}+{a}_{3}<0\)，所以\( {a}_{2}<0\)恒成立，故B不正确；
对于C, 由数列\( \left\{{a}_{n}\right\}\)是等差数列，\( {a}_{1}<{a}_{2}\)可取\( {a}_{1}=-3，{a}_{2}=-2，{a}_{3}=-1\)，所以\( {a}_{2}>\sqrt{{a}_{1}{a}_{3}}\)不成立，故C正确；
对于D，由数列\( \left\{{a}_{n}\right\}\)是等差数列，得\( \left({a}_{2}-{a}_{1}\right)\left({a}_{2}-{a}_{3}\right)=-{d}^{2}\le 0\)，无论\( {a}_{1}\)为何值，均有\( \left({a}_{2}-{a}_{1}\right)\left({a}_{2}-{a}_{3}\right)\le 0\)所以若\( {a}_{1}<0\)，则\( \left({a}_{2}-{a}_{1}\right)\left({a}_{2}-{a}_{3}\right)>0\)恒不成立，故D正确.
故选：ACD
