高中数学 必修 第二册（415题）

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知识点：第八章 立体几何初步

参考答案：解：由三棱台的性质知，\(DE\)||\(AB\)，

故直线\(DE\)与平面\(DBC\)所成角即为直线\(AB\)与平面\(DBC\)所成角．

由（1）知，\(AD \bot \)平面\(DBC\)，

\(\therefore \angle ABD\)即为所求．

\(\because AD = \sqrt 2 BC\)，\(AD = \sqrt 2 a\)，\(\therefore BC = a\)，

在\(\Delta ABC\)中，由余弦定理知，\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC\bullet BC\cos \angle ACB = 4{a^2} + {a^2} - 2\bullet 2a\bullet a\bullet \frac{1}{2} = 3{a^2}\)，\(\therefore AB = \sqrt 3 a\)，

在\({\rm{Rt}}\Delta {\rm{ABD}}\)中，\(\sin \angle ABD = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 2 a}}{{\sqrt 3 a}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)．

故直线\(DE\)与平面\(DBC\)所成角的正弦值为\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\)．

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