欧拉公式被称为世界上最完美的公式，欧拉公式又称为欧拉定理，是用在复分析领域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，即\({{\rm{e}}^{{\rm{i}}\theta }} = \cos \theta + {\rm{i}}\sin \theta \)（\(\theta \in {\mathbf{R}}\)）．根据欧拉公式，若复数\({z_1}{\rm{ = }}{{\rm{e}}^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}{\rm{i}}}}\)，\({\rm{ }}{z_2}{\rm{ = }}{{\rm{e}}^{\frac{{3{\rm{\pi }}}}{4}{\rm{i}}}}\)，其在复平面内对应的向量分别为\(\overrightarrow {O{Z_1}} \)，\(\overrightarrow {O{Z_2}} \)，则\(\overrightarrow {O{Z_1}} {\rm{ }}\bullet {\rm{ }}(\overrightarrow {O{Z_1}} + \overrightarrow {O{Z_2}} ) = \)___．
