高中数学必修 第一册（648题）

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证明：若α是第四象限角，则\(\sqrt {\frac {1+\sin {α}} {1-\sin {α}}}-\sqrt {\frac {1-\sin {α}} {1+\sin {α}}}=2\tan {α}\)

知识点：第五章 三角函数

参考答案：证明：\(\frac {1+\sin {α}} {1-\sin {α}}=\frac {\left ( {1+\sin {α}} \right )^{2}} {\left ( {1-\sin {α}} \right )\left ( {1+\sin {α}} \right )}=\frac {\left ( {1+\sin {α}} \right )^{2}} {1-\left ( {\sin {α}} \right )^{2}}=\frac {\left ( {1+\sin {α}} \right )^{2}} {1-\cos^{2} {α}}\)，因为α是第四象限的角，所以\(\cos {α>0}\)，又因为\(\sin {α<-1}\)，

所以\(1+\sin {α>0}\)，所以\(\sqrt {\frac {1+\sin {α}} {1-\sin {α}}}=\frac {1+\sin {α}} {\cos {α}}\)，同理\(\sqrt {\frac {1-\sin {α}} {1+\sin {α}}}=\frac {1-\sin {α}} {\cos {α}}\)，所以\(\sqrt {\frac {1+\sin {α}} {1-\sin {α}}}-\sqrt {\frac {1-\sin {α}} {1+\sin {α}}}=\frac {1+\sin {α}} {\cos {α}}-\frac {1-\sin {α}} {\cos {α}}=2\frac {\sin {α}} {\cos {α}}=2\tan {α}\)

原式得证．