高中数学必修 第一册（648题）

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知识点：第四章 指数函数与对数函数

参考答案：由题意可知 \( f\left(x\right)>(\frac{1}{2}{)}^{x}+m\) 恒成立

只需 \(\left [ {f} \right (x)-(\frac {1} {2}{)}^{x}{]}_{\text{min}}>m\) 即可

由（2）可知 \( f\left(x\right)\) 在 \( (1,+\infty )\) 内单调递增

\( \therefore f\left(x\right)\) 在 \( \left[\mathrm{3,4}\right]\) 上单调递增

而 \( y=(\frac{1}{2}{)}^{x}\) 在 \( \left[\mathrm{3,4}\right]\) 上单调递减

\( \therefore y=-(\frac{1}{2}{)}^{x}\) 在 \( \left[\mathrm{3,4}\right]\) 上单调递增

\( \therefore \)当 \( x=3\) 时，\(\left [ {f} \right (x)-(\frac {1} {2}{)}^{x}{]}_{\text{min}}=-\frac {9} {8}\)

\( \therefore m<-\frac{9}{8}\)

故实数 \( m\) 的取值范围是 \( (-\infty ,-\frac{9}{8})\)