高中数学必修 第一册（648题）

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知识点：第四章 指数函数与对数函数

参考答案：由（1）可知 \( f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1+x}{x-1}\right)\)设 \( g\left(x\right)=\frac{1+x}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}\)若 \( f\left(x\right)\) 在 \( (1,+\infty )\) 内单调递增，则说明 \( g\left(x\right)\) 在 \( (1,+\infty )\) 内单调递减，下面证明之：设\( 1<{x}_{1}<{x}_{2}\)则\( g\left({x}_{1}\right)=1+\frac{2}{{x}_{1}-1},g\left({x}_{2}\right)=1+\frac{2}{{x}_{2}-1}\)那么\( g\left({x}_{1}\right)-g\left({x}_{2}\right)=(1+\frac{2}{{x}_{1}-1})-(1+\frac{2}{{x}_{2}-1})\)\( \text{ }=\frac{2({x}_{2}-{x}_{1})}{({x}_{1}-1)({x}_{2}-1)}\) \( \because 1<{x}_{1}<{x}_{2}\)\( \therefore {x}_{1}-1>0,{x}_{2}-1>0,{x}_{2}-{x}_{1}>0\) \( \therefore g\left({x}_{1}\right)-g\left({x}_{2}\right)>0\) 即 \( g\left({x}_{1}\right)>g\left({x}_{2}\right)\)即函数 \( g\left(x\right)\) 在 \( (1,+\infty )\) 内单调递减故函数 \( f\left(x\right)\) 在 \( (1,+\infty )\) 内单调递增