高中数学必修 第一册（648题）

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知识点：第四章 指数函数与对数函数

参考答案：\(f(x) = \frac{{\left( {{2^x} + 1} \right) - 2}}{{{2^x} + 1}} = 1 - \frac{2}{{{2^x} + 1}}\)，设 \({x_1}\)，\({x_2}\) 是 \(R\) 上任意两个实数，且 \({x_1} < {x_2}\)，\(f({x_1}) - f({x_2}) = \frac{2}{{{2^{{x_2}}} + 1}} - \frac{2}{{{2^{{x_1}}} + 1}} = \frac{{2({2^{{x_1}}} - {2^{{x_2}}})}}{{({2^{{x_1}}} + 1)({2^{{x_2}}} + 1)}}\)，\(\because {x_1} < {x_2}\)，\(\therefore {2^{{x_2}}} > {2^{{x_1}}} > 0\)，从而 \({2^{{x_1}}} + 1 > 0\)，\({2^{{x_2}}} + 1 > 0\)，\({2^{{x_1}}} - {2^{{x_2}}} < 0\)，\(\therefore f({x_1}) - f({x_2}) < 0\)，即\(f({x_1}) < f({x_2})\).\(\therefore f(x)\) 为 \(R\) 上的增函数.