高中数学必修 第一册（648题）

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知识点：第三章 函数的概念与性质

参考答案：\( x\in \left[\mathrm{1,4}\right], x+\frac{4}{x}\in \left[\mathrm{4,5}\right]\),分类讨论：

(1)当\( a\ge 5\)时，\( f\left(x\right)=a-x-\frac{4}{x}+a=2a-x-\frac{4}{x}\)，函数的最大值\( 2a-4=5, \therefore a=\frac{9}{2}\)，舍去；

(2)当\( a\le 4\)时，\( f\left(x\right)=x+\frac{4}{x}-a+a=x+\frac{4}{x}\le 5\)，此时命题成立；

当\( 4<a<5\)时，\(\left [ {f\left ( {x} \right )} \right ]_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \left | {4-a} \right |+a，\left | {5-a} \right |+a\} \)，则

\( \left\{\begin{array}{c}\left|4-a\right|+a\ge \left|5-a\right|+a\\ \left|4-a\right|+a=5\end{array}\right.\)或\( \left\{\begin{array}{c}\left|4-a\right|+a<\left|5-a\right|+a\\ \left|5-a\right|+a=5\end{array}\right.\)

解得\( a=\frac{9}{2}\)或\( a<\frac{9}{2}\).

综上可得，实数\( a\) 的取值范围是\( (-\infty ,\frac{9}{2}]\).