高中数学必修 第一册（648题）

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知识点：第三章 函数的概念与性质

参考答案：①\(∀{x}_{1}，{x}_{2}∈[1，2]\)，且\({x}_{1}<{x}_{2}\)，则\(f\left ( {{x}_{1}} \right )-f\left ( {{x}_{2}} \right )={x}_{1}-{x}_{2}+\frac {4} {{x}_{1}}-\frac {4} {{x}_{2}}=\left ( {{x}_{1}-{x}_{2}} \right )\left ( {1-\frac {4} {{x}_{1}{x}_{2}}} \right )=\frac {\left ( {{x}_{1}-{x}_{2}} \right )\left ( {{x}_{1}{x}_{2}-4} \right )} {{x}_{1}{x}_{2}}\).\( {\because x}_{1}<{x}_{2}\)， \( \therefore {x}_{1}-{x}_{2}<0\).

当\( 1\le {x}_{1}<{x}_{2}\le 2\)时，\( {x}_{1}{x}_{2}>0\)，\( 1<{x}_{1}{x}_{2}<4\)，即\( {x}_{1}{x}_{2}-4<0\).\( \mathrm{ }\therefore \mathrm{f}\left({x}_{1}\right)>f\left({x}_{2}\right)\)，即\(f(x)\)在区间\([1，2]\)上单调递减．

②由①知\(f(x)\)在区间\([1，2]\)上的最小值为\(f(2)\)，最大值为\(f(1)\)．\(∵f(1)=1+4=5\)，\(f\left ( {2} \right )=2+\frac {4} {2}=4\)，\(\therefore f(x)\)在区间\([1，2]\)上的最小值为4，最大值为5