高中数学必修 第一册（648题）

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知识点：第一章 集合与常用逻辑用语

参考答案：集合A中元素的个数的最大值为1348.

设\(A=\left \{ {{a}_{1}，{a}_{2}，\cdots ，{a}_{k}} \right \} \)满足题意，其中\({a}_{1}<{a}_{2}<\cdots <{a}_{k}\)，

则\(2{a}_{1}<{a}_{1}+{a}_{2}<{a}_{1}+{a}_{3}<\cdots <{a}_{1}+{a}_{k}<{a}_{2}+{a}_{k}<{a}_{3}+{a}_{k}<\cdots <{a}_{k-1}+{a}_{k}<2{a}_{k}\)，

所以\(\left | {S} \right |\geq 2k-1\)，\({a}_{1}-{a}_{1}<{a}_{2}-{a}_{1}<{a}_{3}-{a}_{1}<\cdots <{a}_{k}-{a}_{1}\)，所以\(\left | {T} \right |>k\)，

因为\(S\cap T=\varnothing \)，由容斥原理，\(\left | {S\cup T} \right |=\left | {S} \right |+\left | {T} \right |\geq 3k-1\)，

\(S\cup T\)最小的元素为0，最大的元素为\(2{a}_{k}\)，所以\(\left | {S\cup T} \right |\leq 2{a}_{k}+1\)，

所以\(3k-1\leq 2{a}_{k}+1\leq 4043\left ( {k\in {\text{N}}^{*}} \right )\)，解得\(k\leq 1348\)，

实际上当\(A=\left \{ {674，675，\cdots ，2021} \right \} \)时满足题意，证明如下：

设\(A=\left \{ {m，m+1，m+2，\cdots ，2021} \right \} \left ( {m\in \text{N}} \right )\)，

则\(S=\left \{ {2m，2m+1，2m+2，\cdots ，4042} \right \} \)，\(T=\left \{ {0，1，2，\cdots ，2021-m} \right \} \)，

依题意，有\(2021-m<2m\)，即\(m>\frac {2021} {3}\)，所以m的最小值为674，于是当\(m=674\)时，

集合\(A\)中的元素最多，即\(A=\left \{ {674，675，\cdots ，2021} \right \} \)时满足题意.

综上所述，集合\(A\)中元素的个数的最大值为1348.