九年级（上）期末数学试卷集（328题）

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(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²＋bx＋c的顶点坐标为(2，9)，与y轴交于点A(0，5)，与x轴交于点E，B.

(1)求二次函数y＝ax²＋bx＋c的表达式；

(2)过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点(点P在AC上方)，作PD平行于y轴交AB于点D，当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；

(3)若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M，N的坐标．

知识点：试卷13

参考答案：见解析

解析：

解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x－2）²＋9，（1分）∵抛物线与y轴交于点A（0，5），∴4a＋9＝5，∴a＝－1，∴y＝－（x－2）²＋9＝－x²＋4x＋5；（3分）

（2）当y＝0时，－x²＋4x＋5＝0，∴x₁＝－1，x₂＝5，∴E（－1，0），B（5，0）.（4分）设直线AB的解析式为y＝mx＋n，∵A（0，5），B（5，0），∴m＝－1，n＝5，∴直线AB的解析式为y＝－x＋5.设P（x，－x²＋4x＋5），∴D（x，－x＋5），∴PD＝－x²＋4x＋5＋x－5＝－x²＋5x.（5分）∵AC∥x轴，∴点A，C关于对称轴对称，AC＝4.∵AC⊥PD，∴S_{四边形APCD}＝×AC×PD＝2（－x²＋5x）＝－2x²＋10x，

∴当时，即点P的坐标为时，S_{四边形APCD最大}＝；（7分）

 

（3）如图，过M作MH垂直于对称轴，垂足为H.∵MN∥AE，MN＝AE，∴△HMN≌△OEA，∴HM＝OE＝1，∴M点的横坐标为3或1.当横坐标1时，M点纵坐标为8，当横坐标为3时，M点纵坐标为8，∴M点的坐标为M₁（1，8）或M₂（3，8）.（9分）∵A（0，5），E（－1，0），∴直线AE的解析式为y＝5x＋5.∵MN∥AE，∴MN的解析式为y＝5x＋b.∵点N在抛物线对称轴x＝2上，∴N（2，10＋b）.∵AE²＝OA²＋OE²＝26＝MN²，∴MN2＝（2－1）²＋[8－（10＋b）]²＝1＋（b＋2）².∵M点的坐标为M₁（1，8）或M₂（3，8），∴点M₁，M₂关于抛物线对称轴x＝2对称.∵点N在抛物线对称轴上，∴M₁N＝M₂N.∴1＋（b＋2）²＝26，∴b＝3或b＝－7，∴10＋b＝13或10＋b＝3.∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3）.（12分）