九年级（上）期末数学试卷集（328题）

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如图①所示，矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处，折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA，△PDA的面积是△OCP的面积的4倍．

（1）求证：△OCP∽△PDA；

（2）求边AB的长；

（3）连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．

①按上面的叙述在图②中画出正确的图象；

②当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．

知识点：试卷02

参考答案：见解析

解析：

【考点】相似形综合题．

【分析】（1）利用折叠和矩形的性质可得到∠C=∠D，∠APD=∠POC，可证得相似；

（2）利用面积比可求得PC的长，在Rt△APD中利用勾股定理可求得AB的长；

（3）①结合描述画出图形即可，②作MQ∥AN交PB于点Q，利用条件证明△MFQ≌△NFB，得到EF=PB，且可求出PB的长，可得出结论．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，

由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B，

∴∠APO=90°，

∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC，

∴△OCP∽△PDA；

（2）解：∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，

∴==，

∴CP=4，

设AB=x，则AP=x，DP=x﹣4，

在Rt△ADP中，由勾股定理可得AP²=AD²+DP²，

即x²=8²+（x﹣4）²，解得x=10，

即边AB的长为10；

（3）解：①如图所示，

②EF的长度不变，理由如下：

作MQ∥AN，交PB于点Q，如上图，

∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP，

∴∠∠APB=∠MQP，

∴MP=MQ，

∵ME⊥PQ，

∴PE=EQ=PQ，

∵BN=PN，MP=MQ，

∴BN=QM，

∵MQ∥AN，

∴∠QMF=∠BNF，

在△MFQ和△NFB中，

，

∴△MFQ≌△NFB（AAS），

∴QF=BF，

∴QF=QB，

∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，

又由（1）可知在Rt△PBC中，BC=8，PC=4，

∴PB=4，

∴EF=2，

即EF的长度不变．