八年级（上）期末数学试卷集（305题）

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如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．

（1）求证：CO平分∠ACD；

（2）求证：AB+CD=AC．

 

知识点：试卷10

参考答案：见解析

解析：

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】（1）过O点作OE⊥AC于点E，利用角平分线的性质定理以及判定定理即可证明．

（2）由Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），推出AB=AE，由Rt△CDO≌Rt△CEO（HL），推出CD=CE，推出AB+CD=AE+CE=AC．

【解答】证明：（1）过O点作OE⊥AC于点E．

∵∠ABD=90°且OA平分∠BAC

∴OB=OE，

又∵O是BD中点

∴OB=OD，

∴OE=OD，

∵OE⊥AC，∠D=90°

∴点O在∠ACD 的角平分线上

∴OC平分∠ACD．

 

（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中

∵

∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），

∴AB=AE，

在Rt△CDO和Rt△CEO中

∵

∴Rt△CDO≌Rt△CEO（HL），

∴CD=CE，

∴AB+CD=AE+CE=AC．

 

【点评】本题考查角平分线的性质定理以及判定定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．