八年级（上）期末数学试卷集（305题）

---

（1）问题背景：

如图①：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E、F分别是BC、CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　　；

（2）探索延伸：

如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由；

（3）实际应用：

如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的

B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进．2小时后，甲、乙两舰艇分别到达E、F处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

知识点：试卷05

参考答案：见解析

解析：

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，可得AG与BE的关系，∠BAE与∠DAG的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得EF与GF的关系，根据等量代换，可得答案；

（2）根据补角的性质，可得∠B=∠ADG，根据全等三角形的判定与性质，可得AG与BE的关系，∠BAE与∠DAG的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得EF与GF的关系，根据等量代换，可得答案；

（3）根据角的和差，可得∠OEF与∠AOB的关系，∠A与∠B的关系，根据（2）的探索，可得EF与AE、BF的关系，可得答案．

【解答】解：（1）在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．

∵∠EAF=∠BAD，

∴∠BAE+∠DAF=∠EAF=∠BAD．

∵∠GAF=∠DAG+∠DAF，

∴∠GAF=∠BAE+∠DAF．

∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△GAF（SAS），

∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，

故答案为：EF=BE+DF；

（2）EF=BE+DF仍然成立．

证明：如图1，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，

∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，

∴∠B=∠ADG，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．

∵∠EAF=∠BAD，

∴∠BAE+∠DAF=∠EAF=∠BAD．

∵∠GAF=∠DAG+∠DAF，

∴∠GAF=∠BAE+∠DAF．

∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△GAF（SAS），

∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，

∴EF=BE+DF；

（3）如图2，

连接EF，延长AE、BF相交于点C，

∵∠AOB=∠AON+∠NCH+∠BOH=30+90+20=140°，

∠EOF=70°，

∴∠EOF=∠AOB，

又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，

∴符合探索延伸中的条件，

∴结论EF=AE+BF成立，

即EF=2×（60+80）=280海里．

答：此时两舰艇之间的距离是280海里．